Tidsutvikling, måling og impulsrommet

Postulatene sier hvordan tilstanden utvikler seg og hva en måling kan gi. Modulen bruker dem på tre ting: tidsutviklingen til en forventningsverdi, en måling der egenverdien er degenerert, og utviklingskoeffisientene når spekteret er kontinuerlig. Det siste fører til impulsrommet, der $\Phi(p, t)$ er bølgefunksjonen.

Tidsutvikling av forventningsverdier

Forventningsverdien $\langle F \rangle = \int \Psi^* \hat F\, \Psi\, d\tau$ avhenger av tida fordi $\Psi$ gjør det, og eventuelt fordi $\hat F$ gjør det. Deriver under integraltegnet, sett inn Schrödingerlikningen for $\partial\Psi/\partial t$ og bruk at $\hat H$ er hermitesk.

Vanligvis avhenger ikke $\hat F$ av tida, og da står kommutatorleddet igjen alene. Kommuterer en slik operator med $\hat H$, er $\langle F \rangle$ konstant i enhver tilstand, og $F$ er en bevegelseskonstant. Energien selv er det første eksempelet: $[\hat H, \hat H] = 0$, så $\langle E \rangle$ er konstant så lenge $\hat H$ ikke avhenger av tida. For en fri partikkel kommuterer $\hat p$ med $\hat H = \hat p^2/2m$, så $\langle p \rangle$ er konstant, som impulsen til en fri klassisk partikkel.

Ehrenfests teorem

For en partikkel i et potensial, $\hat H = \hat p^2/2m + V(x)$, gir formelen med $\hat F = \hat x$ og $\hat F = \hat p$ to bevegelseslikninger for forventningsverdiene. Begge kommutatorene følger av $[\hat x, \hat p] = i\hbar$.

Det ser ut som om $\langle x \rangle$ følger den klassiske banen, men høyresiden i den andre likningen er forventningsverdien av kraften, $\langle F(x) \rangle$, og ikke kraften i middelposisjonen, $F(\langle x \rangle)$. Rekkeutvikling om $\langle x \rangle$ viser forskjellen:

Korreksjonen vokser med bredden $\Delta x$ på bølgepakken og med hvor raskt kraften endrer seg. For en makroskopisk partikkel er $\Delta x$ forsvinnende liten, og klassisk mekanikk gjelder. Det samme gjelder en mikroskopisk partikkel i et potensial som varierer langsomt over $\Delta x$, slik som i en akselerator. I et lineært eller kvadratisk potensial er $F'' = 0$, så der følger $\langle x \rangle$ den klassiske banen eksakt, uansett hvor bred pakken er.

Måling av en degenerert egenverdi

Målepostulatet sier at systemet rett etter en måling som ga $f_n$, står i en egentilstand med egenverdi $f_n$. Er egenverdien ikke-degenerert, finnes bare én slik tilstand, $\psi_n$. Er egenverdien degenerert, har $\hat F\psi_{ni} = f_n\psi_{ni}$ $g_n$ lineært uavhengige løsninger, og postulatet må presiseres.

Utvid tilstanden i det ortonormerte egenfunksjonssettet, $\Psi = \sum_n \sum_{i=1}^{g_n} c_{ni}\,\psi_{ni}$ med $c_{ni} = \int \psi_{ni}^*\,\Psi\,d\tau$. Forventningsverdien er på den ene siden $\sum_n P_n f_n$, med $P_n$ som sannsynligheten for å måle $f_n$. På den andre siden gir forventningsverdipostulatet $\int\Psi^*\hat F\Psi\,d\tau = \sum_n \bigl(\sum_i |c_{ni}|^2\bigr) f_n$. Begge gjelder for enhver $\Psi$, så sannsynligheten er summen over hele egenrommet.

Delen av $\Psi$ som ikke er forenlig med $f_n$, fjernes. Det er dette som kalles kollapsen. Vektene innenfor egenrommet arves fra tilstanden før målingen, så målingen plukker ikke en vilkårlig egentilstand med riktig egenverdi.

Målingen etterlater altså en superposisjon innenfor egenrommet. For å ende i én bestemt egenfunksjon må du måle en observabel til. To operatorer som kommuterer, har felles egenfunksjoner, og størrelsene kan ha skarpe verdier samtidig; slike observable kalles kompatible. I hydrogen er $E$, $L^2$ og $L_z$ kompatible med felles egenfunksjoner $\psi_{nlm}$: en energimåling fastlegger $n$, en måling av $L^2$ deretter $l$, og en måling av $L_z$ til slutt $m$. Kommuterer operatorene ikke, som $\hat x$ og $\hat p$, finnes ingen felles egenfunksjoner, og en måling av den ene ødelegger en skarp verdi for den andre.

Impulsegenfunksjonene

Egenverdilikningen $\hat p_x\psi = p\,\psi$ med $\hat p_x = (\hbar/i)\,d/dx$ har løsningene $\psi_p(x) = A\,e^{ipx/\hbar}$, plane bølger, for alle reelle $p$. En kompleks $p$ ville gitt en løsning som vokser uten grense i den ene retningen. Spekteret er altså kontinuerlig. Men $|\psi_p|^2 = |A|^2$ er konstant, så $\int |\psi_p|^2\,dx$ divergerer, og egenfunksjonene kan ikke normeres til 1. I stedet velges $A$ slik at

Med integralframstillingen $\delta(y) = (2\pi)^{-1}\int e^{iyx}\,dx$ blir venstresiden $|A|^2 \int e^{i(p - p')x/\hbar}\,dx = 2\pi\hbar\,|A|^2\, \delta(p - p')$, så $A = (2\pi\hbar)^{-1/2}$ ($\psi_p(x) = (2\pi\hbar)^{-1/2}\, e^{ipx/\hbar}$).

Posisjonsoperatoren har også et kontinuerlig spektrum. $\hat x\,\psi_y = y\,\psi_y$ har løsningen $\psi_y(x) = \delta(x - y)$, som er null overalt unntatt i $x = y$, og den er deltafunksjonsnormert på samme måte. Etter en posisjonsmåling som ga $x'$, står partikkelen i $\delta(x - x')$.

Sannsynlighetstettheten i impulsrommet

Med impulsegenfunksjonene som basis er utviklingen av $\Psi$ et fourierintegral, $\Psi(x, t) = \int \Phi(p, t)\,\psi_p(x)\,dp$, og koeffisienten finner vi ved å projisere på $\psi_p$.

Tolkningen av $\Phi$ følger av samme sammenlikning som i det degenererte tilfellet. Måles $p_x$ mange ganger på et ensemble i tilstanden $\Psi$, er $\langle p_x \rangle = \int P(p, t)\,p\,dp$, der $P(p, t)\,dp$ er sannsynligheten for et resultat i $[p, p + dp]$. Forventningsverdipostulatet gir samtidig

Her flyttet vi den hermiteske $\hat p_x$ over på den venstre faktoren, satte inn utviklingen av $\Psi$, brukte $\hat p_x\psi_p = p\,\psi_p$ og byttet rekkefølge på integralene. Sammenlikningen gir $P(p, t) = |\Phi(p, t)|^2$.

Kvantemekanikk i impulsrommet

Likheten er ikke tilfeldig. $\Phi(p, t)$ kan brukes som bølgefunksjon i en egen formulering av teorien. For en observabel som bare avhenger av $p$, er $\langle F(p) \rangle = \int |\Phi|^2\,F(p)\,dp$ fordi $|\Phi|^2$ er sannsynlighetstettheten. Skrevet som

har det samme form som $\int \Psi^* \hat F\,\Psi\,dx$, så $\hat p = p$, ren multiplikasjon, slik $\hat x = x$ er det i posisjonsrommet. Den kinetiske energien $\hat p^2/2m$ blir dermed enkel.

Posisjonen krever et regnestykke. Start i posisjonsrommet, med $\langle x^n \rangle = \int (x^n\Psi)^*\,\Psi\,dx$, og sett inn utviklingen av $\Psi$. Identiteten $x\,e^{ipx/\hbar} = (\hbar/i)\,\partial_p\,e^{ipx/\hbar}$ gir $x^n\psi_p = \bigl((\hbar/i)\,\partial/\partial p\bigr)^n\psi_p$. Konjugeringen snur fortegnet på $i$, og $p$-derivasjonen kan tas utenfor $x$-integralet, som er $\Phi(p, t)$:

Sammenliknet med oppskriften $\langle F \rangle = \int\Phi^*\hat F\Phi\,dp$ betyr det at $\hat x = -(\hbar/i)\,\partial/\partial p$. Et potensial $V(x) = \sum_n v_n x^n$ blir operatorfunksjonen $\hat V = \sum_n v_n\,\hat x^{\,n}$, altså $V$ med $\hat x$ satt inn. Kommutatoren er den samme som før, $[\hat x, \hat p] = i\hbar$.

$\Phi$ inneholder all informasjon om systemet, for $\Psi$ og $\Phi$ er et fourierpar og bestemmer hverandre. $\Phi$ har også sin egen bølgelikning. Deriver $\Phi = \int\psi_p^*\,\Psi\,dx$ med hensyn på tida og sett inn Schrödingerlikningen for $\Psi$. Den hermiteske $\hat H$ kan flyttes over på $\psi_p^*$, der $\hat p^2/2m$ gir tallet $p^2/2m$ og $V(x)$ blir operatorfunksjonen i $p$.

De to formuleringene gir samme fysikk. Posisjonsrommet er som regel enklest fordi $\hat H$ er kvadratisk i $p$ og mer innfløkt i $x$. Unntakene er en fri partikkel, et lineært potensial og den harmoniske oscillatoren, der de to er like enkle.

For en fri partikkel er likningen $i\hbar\,\partial_t\Phi = (p^2/2m)\,\Phi$ med løsningen $\Phi(p, t) = \Phi(p, 0)\,e^{-ip^2t/2m\hbar}$. Da er $|\Phi(p, t)|^2 = |\Phi(p, 0)|^2$: fordelingen av impuls endrer seg ikke, og alle observable som bare avhenger av $p$, har konstante forventningsverdier. Posisjonen har det ikke. Settes løsningen inn i $\langle x \rangle = \int\Phi^*\,(-\tfrac{\hbar}{i}\partial_p)\,\Phi\,dp$, virker $\partial_p$ også på fasen, og det leddet gir $\langle x \rangle_t = \langle x \rangle_0 + \langle p \rangle\,t/m$, Newtons første lov for forventningsverdiene.

Sjekk deg selv