Repetisjon og postulater

FY2045 bygger videre på TFY4215. Modulen repeterer først hvordan kvantehypotesene ble tvunget fram, og hva dobbeltspaltforsøket sier om bølgefunksjonen. Deretter samles teorien i de fire postulatene.

Lyskvantene

I 1900 fant Planck en formel som traff det målte spekteret fra et sort legeme ved alle temperaturer ($u(\nu, T) = \dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}\,\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}$), med én ny konstant, $h$. For å utlede den måtte han anta at energi utveksles mellom stråling og materie i kvanter $h\nu$. Selv kalte han antakelsen en fortvilelseshandling.

Einstein tok i 1905 et steg Planck aldri godtok: kvantiseringen ligger i selve lyset, som består av fotoner med energi $h\nu$. Det forklarer den fotoelektriske effekten. Fotonets energi går med til frigjøringsarbeidet $W$ og til kinetisk energi for elektronet, $E_{\text{kin}} = h\nu - W$, og økt intensitet betyr bare flere fotoner. I 1917 ga Einstein fotonet også impulsen $p = E/c = h/\lambda$.

Avgjørelsen kom med Compton i 1923. Røntgen spredt på grafitt kom ut med lengre bølgelengde, og forskjellen vokste med spredningsvinkelen $\theta$. Klassisk skal elektronene svinge med feltet som driver dem og stråle med uendret frekvens, slik en antenne gjør. Behandles prosessen i stedet som et relativistisk støt mellom ett foton og et fritt elektron i ro, følger målingene nøyaktig.

Forskyvningen settes av comptonbølgelengden $\lambda_C = h/m_ec = 2{,}43$ pm. Legg merke til at $\lambda'$ selv måles med braggspredning i en krystall: partikkelegenskapene forklarer støtet, bølgeegenskapene måler resultatet.

Bohr og materiebølgene

Atomene i en varm gass stråler på skarpe, diskrete bølgelengder, og Balmer fant systemet i hydrogenlinjene alt i 1885: generalisert er $1/\lambda = R_\infty(1/n^2 - 1/m^2)$ med heltall $m > n$. Med Rutherfords atomkjerne fra 1911 som utgangspunkt forklarte Bohr linjene i 1913.

To av antakelsene hans står fortsatt. Atomet kan bare eksistere i et diskret sett stasjonære tilstander, hver med skarp energi, og i en slik tilstand stråler det ikke. Strålingen kommer i kvantesprang mellom tilstandene, med $h\nu = \Delta E$. For hydrogen svarer linjene til nivåene $E_n = -\dfrac{hcR_\infty}{n^2} \approx -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$.

For å beregne nivåene antok Bohr i tillegg at elektronet går i sirkelbane etter Newtons lover, med dreieimpuls kvantisert som $L = n\hbar$. Det ga riktig $1/n^2$-avhengighet uten nye parametre, og som biprodukt to størrelser som går igjen gjennom hele emnet, bohrradien $a_0 = 0{,}529$ Å og finstrukturkonstanten $\alpha \approx 1/137$.

de Broglie snudde i 1923 dualiteten rundt: også partikler har bølgenatur, med $\lambda = \dfrac{h}{p}, \qquad \nu = \dfrac{E}{h}$. Kravet om at sirkelbanen rommer et helt antall bølgelengder gjenskaper $L = n\hbar$. Davisson og Germer og G. P. Thomson bekreftet hypotesen i 1926 og 1927 med elektrondiffraksjon på krystaller, og da hadde Schrödinger alt funnet bølgelikningen som gjorde det Bohrs modell aldri klarte: den beskrev også tyngre atomer riktig.

Dobbeltspalten og bølgefunksjonen

Send elektroner én og én mot en dobbeltspalte. Hvert elektron registreres i ett punkt på skjermen, men fordelingen av mange treff er et interferensmønster, det samme som for lys. For å beskrive det må vi som Young og Fresnel innføre en abstrakt bølgefunksjon: bak spaltene er $\Psi_{12} = \Psi_1 + \Psi_2$, og $|\Psi_{12}|^2$ gjengir fordelingen. For lys viste bølgefunksjonen seg å være det elektriske feltet. For partikler finnes ikke noe tilsvarende: $\Psi$ lar seg ikke måle, og hvor ett enkelt elektron havner, kan ingen teori forutsi.

Overvåker du spaltene, går hvert elektron gjennom én av dem, men da forsvinner interferensmønsteret. Mønsteret finnes bare i eksperimenter der spørsmålet om vei ikke kan besvares. Noen spørsmål som er rimelige klassisk, har ikke svar i kvantefysikken.

Postulatene

Alt dette samles i fire postulater, med samme rolle i kvantemekanikken som Newtons lover har i klassisk mekanikk.

I posisjonsromformuleringen er oppskriften: skriv den klassiske størrelsen ved posisjon og impuls, og erstatt impulsen med operatoren $\hat p_x = (\hbar/i)\,\partial/\partial x$.

Er $\Psi$ kjent ved ett tidspunkt, er den bestemt for alle senere. Likningen er lineær og homogen, så enhver superposisjon av løsninger er selv en løsning. Og mer informasjon om systemet enn den som ligger i $\Psi$, finnes ikke.

Med $F = x$ gir postulatet $\langle x \rangle = \int x\,|\Psi|^2\,d\tau$, så $|\Psi|^2$ er sannsynlighetstettheten i posisjonsrommet. Borns tolkning fra dobbeltspalten ligger altså inne i postulatet.

En måling endrer altså som regel tilstanden. Er tilstanden før målingen en superposisjon $\Psi = \sum_n c_n \psi_n$ av ortonormerte egentilstander, er sannsynligheten for å måle $f_n$ lik $|c_n|^2$, og en ny måling rett etterpå gir samme verdi igjen. Måler du i stedet posisjonen og finner $x'$, står partikkelen rett etterpå i posisjonsegentilstanden $\delta(x - x')$, som ikke er en energiegentilstand.

Sjekk deg selv