Formelsamling

01 Repetisjon og postulater

$\displaystyle u(\nu, T) = \dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}\,\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1}$ Plancks strålingslov: spektral energitetthet i et hulrom med temperatur $T$ .
$\displaystyle E_{\text{kin}} = h\nu - W$ Einsteins fotoelektriske likning. $W$ er frigjøringsarbeidet for metallet.
$\displaystyle E_\gamma = h\nu, \qquad p_\gamma = \dfrac{E_\gamma}{c} = \dfrac{h}{\lambda}$ Fotonets energi og impuls.
$\displaystyle \lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}\,(1 - \cos\theta)$ Compton-relasjonen for spredning av et foton på et fritt elektron.
$\displaystyle E_n = -\dfrac{hcR_\infty}{n^2} \approx -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$ Energinivåene i hydrogen, $n = 1, 2, 3, \dots$
$\displaystyle \lambda = \dfrac{h}{p}, \qquad \nu = \dfrac{E}{h}$ de Broglie-relasjonene: bølgelengde og frekvens for en partikkel.
$\displaystyle i\hbar\,\dfrac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat H\,\Psi$ Schrödingerlikningen: kvantemekanikkens bevegelseslikning.
$\displaystyle \langle F \rangle_\Psi = \int \Psi^* \hat F\, \Psi\, d\tau$ Forventningsverdien av observabelen $F$ i tilstanden $\Psi$ .

02 Tidsutvikling, måling og impulsrommet

$\displaystyle P_n = \sum_{i=1}^{g_n} |c_{ni}|^2$ Sannsynligheten for å måle en degenerert egenverdi $f_n$ med degenerasjonsgrad $g_n$ .
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}\langle F \rangle = \dfrac{i}{\hbar}\,\bigl\langle [\hat H, \hat F] \bigr\rangle + \Bigl\langle \dfrac{\partial \hat F}{\partial t} \Bigr\rangle$ Tidsutviklingen til en forventningsverdi. Kommuterer en tidsuavhengig $\hat F$ med $\hat H$ , er $F$ en bevegelseskonstant.
$\displaystyle \psi_p(x) = (2\pi\hbar)^{-1/2}\, e^{ipx/\hbar}$ Impulsegenfunksjonene, deltafunksjonsnormerte.
$\displaystyle \Phi(p, t) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_p^*(x)\, \Psi(x, t)\, dx$ Bølgefunksjonen i impulsrommet. $|\Phi(p, t)|^2$ er sannsynlighetstettheten for impulsen.
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{d\langle x \rangle}{dt} &= \dfrac{\langle p \rangle}{m}, \\[4pt] \dfrac{d\langle p \rangle}{dt} &= -\langle V'(x) \rangle \end{aligned}$ Ehrenfests teorem: bevegelseslikningene for $\langle x \rangle$ og $\langle p \rangle$ når $\hat H = \hat p^2/2m + V(x)$ .
$\displaystyle \int \psi_{p'}^*\,\psi_p\,dx = \delta(p - p')$ Deltafunksjonsnormering av egenfunksjoner med kontinuerlig spektrum.
$\displaystyle \hat p = p, \qquad \hat x = -\dfrac{\hbar}{i}\,\dfrac{\partial}{\partial p}$ Operatorene i impulsrommet. $\Phi(p, t)$ følger Schrödingerlikningen med samme $\hat H$ .

03 Diracnotasjon og representasjoner

$\displaystyle \begin{aligned} \langle a|b\rangle &= \langle b|a\rangle^*, \\[2pt] c\,|a\rangle &\;\leftrightarrow\; c^*\langle a| \end{aligned}$ Skalarproduktet i Diracnotasjon, og den duale vektoren til $c\,|a\rangle$ .
$\displaystyle \begin{aligned} \psi(x) &= \langle x|\psi\rangle, \\[2pt] \Phi(p) &= \langle p|\psi\rangle, \\[2pt] c_n &= \langle n|\psi\rangle \end{aligned}$ Bølgefunksjonene og utviklingskoeffisientene er komponentene til $|\psi\rangle$ i tre basiser.
$\displaystyle \begin{aligned} \sum_n |n\rangle\langle n| &= \mathbb{1}, \\[2pt] \int dx\,|x\rangle\langle x| &= \mathbb{1} \end{aligned}$ Fullstendighetsrelasjonen for en diskret og en kontinuerlig basis. Settes inn for å bytte basis.
$\displaystyle \begin{aligned} \langle a|\hat A^\dagger|b\rangle &= \langle b|\hat A|a\rangle^*, \\[2pt] (\hat A\hat B)^\dagger &= \hat B^\dagger\hat A^\dagger \end{aligned}$ Den adjungerte operatoren og produktregelen. En hermitesk operator har $\hat A^\dagger = \hat A$ .
$\displaystyle \begin{aligned} \hat F &= \sum_n |f_n\rangle f_n\langle f_n| \\[2pt] \hat F &= \int df\,|f\rangle f\langle f| \end{aligned}$ Spektralrepresentasjonen av en operator, for diskret spektrum $f_n$ (øverst) og kontinuerlig spektrum $f$ (nederst).
$\displaystyle \begin{aligned} \langle F\rangle &= \langle\Psi|\hat F|\Psi\rangle \\[2pt] &= \sum_n f_n\,|\langle f_n|\Psi\rangle|^2 \end{aligned}$ Forventningsverdien i generell formulering. $|\langle f_n|\Psi\rangle|^2$ er sannsynligheten for $f_n$ .
$\displaystyle i\hbar\,\dfrac{d}{dt}|\Psi, t\rangle = \hat H\,|\Psi, t\rangle$ Schrödingerlikningen for tilstandsvektoren. Projisert på $\langle x|$ gir den bølgelikningen.
$\displaystyle \langle x''|\hat p|x'\rangle = \dfrac{\hbar}{i}\,\dfrac{\partial}{\partial x''}\,\delta(x'' - x')$ Matriseelementet til impulsoperatoren i posisjonsbasisen, utledet fra $[\hat x, \hat p] = i\hbar$ .
$\displaystyle \langle x|p\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,e^{ipx/\hbar}$ Overlappet mellom posisjons- og impulsbasisen. Gir $\Psi(x) = \int dp\,\langle x|p\rangle\,\Phi(p)$ .

04 Harmonisk oscillator

$\displaystyle \begin{aligned} a &= \dfrac{i\hat p + m\omega\hat x}{\sqrt{2\hbar m\omega}}, \\[4pt] a^\dagger &= \dfrac{-i\hat p + m\omega\hat x}{\sqrt{2\hbar m\omega}} \end{aligned}$ Stigeoperatorene: $a$ senker og $a^\dagger$ hever energien ett trinn $\hbar\omega$ . De er hverandres adjungerte.
$\displaystyle \begin{aligned} \bigl[a, a^\dagger\bigr] &= 1, \\[2pt] \hat H &= \hbar\omega\bigl(\hat N + \tfrac12\bigr) \end{aligned}$ Kommutatoren og Hamiltonoperatoren uttrykt med talloperatoren $\hat N = a^\dagger a$ .
$\displaystyle E_n = \hbar\omega\bigl(n + \tfrac12\bigr)$ Energinivåene, $n = 0, 1, 2, \dots$ Ikke-degenererte, med nullpunktsenergien $E_0 = \tfrac12\hbar\omega$ .
$\displaystyle \begin{aligned} a\,|n\rangle &= \sqrt{n}\,|n - 1\rangle, \\[2pt] a^\dagger|n\rangle &= \sqrt{n + 1}\,|n + 1\rangle \end{aligned}$ Virkningen på egentilstandene. $a|0\rangle = 0$ , og $|n\rangle = (n!)^{-1/2}(a^\dagger)^n|0\rangle$ .
$\displaystyle \begin{aligned} \hat x &= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\,(a + a^\dagger), \\[4pt] \hat p &= i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\,(a^\dagger - a) \end{aligned}$ Posisjon og impuls uttrykt med stigeoperatorene. Begge kopler bare nabonivåer.
$\displaystyle \psi_0(x) = \Bigl(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar}$ Grunntilstanden, løsningen av $a|0\rangle = 0$ i posisjonsbasisen.
$\displaystyle \begin{aligned} \psi_n(x) &= \Bigl(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/4} \dfrac{H_n(\xi)\,e^{-\xi^2/2}}{\sqrt{2^n n!}} \\[4pt] \xi &= \sqrt{m\omega/\hbar}\;x \end{aligned}$ Egenfunksjonene. $H_n$ er Hermitepolynomene.
$\displaystyle \begin{aligned} a\,|\alpha\rangle &= \alpha\,|\alpha\rangle, \\[2pt] |\alpha\rangle &= e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,|n\rangle \end{aligned}$ Den koherente tilstanden: egentilstand av senkeoperatoren, med kompleks egenverdi $\alpha$ .
$\displaystyle \langle x \rangle = \sqrt{\dfrac{2\hbar}{m\omega}}\,|\alpha|\,\cos(\omega t - \theta)$ Bevegelsen til en koherent tilstand, med $\alpha = |\alpha|e^{i\theta}$ . Pakken beholder grunntilstandens form og bredde.
$\displaystyle \hat U(t, t_0) = e^{-i(t - t_0)\hat H/\hbar}, \allowbreak\quad |\Psi, t\rangle = \hat U(t, t_0)\,|\Psi, t_0\rangle$ Tidsutviklingsoperatoren, når $\hat H$ ikke avhenger eksplisitt av tida. Den er unitær, $\hat U^\dagger = \hat U^{-1}$ .
$\displaystyle \hat F_H(t) = \hat U^\dagger\hat F\,\hat U, \allowbreak\quad \dfrac{d\hat F_H}{dt} = \dfrac{i}{\hbar}\,\bigl[\hat H, \hat F_H\bigr]$ Heisenbergbildet: operatoren utvikler seg i tid og tilstanden står fast. For oscillatoren er $a_H(t) = e^{-i\omega t}a$ .

05 Dreieimpuls

$\displaystyle [J_i, J_j] = i\hbar\sum_k \varepsilon_{ijk}J_k, \allowbreak\quad [J^2, J_i] = 0$ Definisjonen av en dreieimpuls. $\varepsilon_{ijk}$ er Levi-Civita-symbolet.
$\displaystyle J_\pm = J_x \pm iJ_y, \allowbreak\quad [J_z, J_\pm] = \pm\hbar J_\pm$ Heve- og senkeoperatoren. De kommuterer med $J^2$ , og $J_+^\dagger = J_-$ .
$\displaystyle J_\mp J_\pm = J^2 - J_z^2 \mp \hbar J_z$ Produktet av senke- og heveoperatoren. Gir normen til $J_\pm|j,m\rangle$ .
$\displaystyle J^2|j, m\rangle = \hbar^2 j(j + 1)\,|j, m\rangle, \allowbreak\quad J_z|j, m\rangle = \hbar m\,|j, m\rangle$ Egenverdiene, med $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ og $m = -j, -j + 1, \dots, j$ .
$\displaystyle J_\pm|j, m\rangle = \hbar\sqrt{j(j + 1) - m(m \pm 1)}\;|j, m \pm 1\rangle$ Virkningen av heve- og senkeoperatoren. Null for $m = j$ oppover og for $m = -j$ nedover.
$\displaystyle L_z = \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial\varphi}, \allowbreak\quad L^2 = -\hbar^2\Bigl(\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2} + \cot\theta\,\dfrac{\partial}{\partial\theta} + \dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\Bigr)$ Banedreieimpulsen i kulekoordinater.
$\displaystyle L_\pm = \hbar\,e^{\pm i\varphi}\Bigl(\pm\dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\,\dfrac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr)$ Heve- og senkeoperatoren for banedreieimpulsen i kulekoordinater.
$\displaystyle \psi_{lm}(r, \theta, \varphi) = R(r)\,Y_{lm}(\theta, \varphi), \allowbreak\quad Y_{lm} = \Theta_{lm}(\theta)\,e^{im\varphi}$ Felles egenfunksjoner for $L^2$ og $L_z$ . Kuleflatefunksjonene $Y_{lm}$ er ortonormerte på kuleflaten, og $l$ og $m$ er heltall.
$\displaystyle -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2u}{dr^2} \allowbreak + \Bigl[V(r) + \dfrac{\hbar^2 l(l + 1)}{2mr^2}\Bigr]u \allowbreak = Eu$ Radiallikningen for $u(r) = rR(r)$ i et sentralsymmetrisk potensial. Kvantetallet $m$ inngår ikke.