Diracnotasjon og representasjoner

Bølgefunksjonen $\psi(x)$ og impulsbølgefunksjonen $\Phi(p)$ beskriver samme tilstand. I den generelle formuleringen er tilstanden en vektor $|\psi\rangle$ i et Hilbertrom, og $\psi(x)$ og $\Phi(p)$ er komponentene til den samme vektoren i to ulike basiser. Notasjonen er Diracs. Den gjør regningene kortere, og den dekker også systemer som ikke har noen bølgefunksjon, slik som spinn.

Tilstandsvektorer

Tilstanden til et system er en vektor $|\psi\rangle$ i et komplekst, lineært vektorrom $\mathcal H$, kalt et Hilbertrom. Dimensjonen kan være endelig eller uendelig. Vektoren avhenger av tida, $|\psi, t\rangle$, men tida skrives bare ut når den trengs. Til hver vektor $|a\rangle$ hører en dual vektor $\langle a|$ i det duale rommet $\mathcal H^*$, og produktet av en dual vektor og en vektor er skalarproduktet $\langle a|b\rangle$, et komplekst tall. Dirac kalte $\langle a|$ en bra og $|b\rangle$ en ket, fordi de sammen gir en «bracket».

Reglene er de samme som for skalarproduktet $\int\psi_1^*\psi_2\,dx$ mellom to bølgefunksjoner, og det er ikke tilfeldig. Til hver bølgefunksjon svarer det én tilstandsvektor, og skalarproduktet mellom to vektorer er definert lik skalarproduktet mellom bølgefunksjonene deres.

Skalarproduktet $\langle a|b\rangle$ er sannsynlighetsamplituden for å finne systemet i tilstanden $|a\rangle$ når det er i tilstanden $|b\rangle$, slik $\int\psi_a^*\psi_b\,dx$ er det. Er $|x\rangle$ tilstanden der partikkelen står i $x$, er $\langle x|\psi\rangle$ amplituden for å finne partikkelen i $x$ når tilstanden er $|\psi\rangle$. Det er nettopp bølgefunksjonen.

Fullstendighet

Velg $n$ ortonormerte basisvektorer, $\langle k|m\rangle = \delta_{km}$. En vilkårlig vektor er $|\psi\rangle = \sum_k c_k|k\rangle$, og multiplikasjon fra venstre med $\langle m|$ gir koeffisienten $c_m = \langle m|\psi\rangle$. Sett den inn igjen. Tallet $\langle k|\psi\rangle$ kan flyttes fritt, så

Dette gjelder for enhver $|\psi\rangle$, så operatoren i parentesen er enhetsoperatoren.

Et produkt $|a\rangle\langle b|$ med ketvektoren til venstre er en operator, mens $\langle a|b\rangle$ er et tall. Leddet $|n\rangle\langle n|$ er projeksjonsoperatoren $\hat P_n$: $\hat P_n|\psi\rangle = \langle n|\psi\rangle\,|n\rangle = c_n|n\rangle$ er den delen av $|\psi\rangle$ som peker langs $|n\rangle$. Fullstendighet betyr at projeksjonene på alle basisvektorene til sammen gir vektoren tilbake. I tre basiser er

med komponentene $c_n$, $\Phi(p)$ og $\psi(x')$. Komponentene avhenger av basisen, vektoren gjør det ikke, slik en vanlig vektor $\vec A = \sum_i A_i\,\hat e_i = \sum_i A_i'\,\hat e_i'$ er den samme uansett hvilke akser den beskrives med.

Å sette inn $\mathbb{1}$ der det passer, er hovedteknikken i notasjonen. Normen gir det første eksempelet:

Sannsynlighetene summerer seg til 1 i hver basis, for de er kvadratene av komponentene til den samme enhetsvektoren.

Operatorer

En operator $\hat A$ avbilder Hilbertrommet på seg selv, $\hat A|a\rangle = |c\rangle$, og står til venstre for en ket. Den adjungerte operatoren $\hat A^\dagger$ er definert ved

Regnereglene er de samme som for adjungering av matriser: $(\hat A^\dagger)^\dagger = \hat A$, $(\alpha\hat A)^\dagger = \alpha^*\hat A^\dagger$ og $(\hat A\hat B)^\dagger = \hat B^\dagger\hat A^\dagger$. Den adjungerte til et vilkårlig uttrykk finner du ved å konjugere tallene, adjungere operatorene, bytte bra og ket og snu rekkefølgen på faktorene. Tall og skalarprodukter kan flyttes fritt.

Er $\hat A^\dagger = \hat A$, er operatoren hermitesk, og $\langle a|\hat A|a\rangle = \langle a|\hat A|a\rangle^*$ er reell for alle $|a\rangle$. Observable svarer til hermiteske operatorer.

Vektoren $|a\rangle$ er en egenvektor av $\hat A$ hvis $\hat A|a\rangle = \lambda_a|a\rangle$, og mengden av egenverdier er spekteret til $\hat A$. For en hermitesk operator er egenverdiene reelle, og egenvektorene til en observabel antas å være et fullstendig sett, så de kan brukes som basis. Da gir fullstendighetsrelasjonen et uttrykk for operatoren selv. Med $\hat F|f\rangle = f|f\rangle$ og kontinuerlig spektrum er

og siden det gjelder for alle $|\psi\rangle$:

Forventningsverdien følger med samme teknikk: $\langle\psi|\hat F|\psi\rangle = \sum_n f_n\,|\langle f_n|\psi\rangle|^2 = \sum_n P_n f_n$. Sannsynligheten for $f_n$ er kvadratet av komponenten langs $|f_n\rangle$, som i bølgemekanikken.

Postulatene i generell form

Postulatene fra bølgemekanikken har samme innhold, med tilstandsvektoren i stedet for bølgefunksjonen.

Postulat A får ett tillegg. Operatorene for en generalisert koordinat og den tilhørende impulsen oppfyller $[\hat q_n, \hat p_n] = i\hbar$. I den generelle formuleringen er $\hat p$ definert av denne kommutatoren, og uttrykket $(\hbar/i)\,\partial/\partial x$ er det $\hat p$ blir i én bestemt basis. Ingen av postulatene forutsetter en bølgefunksjon, så de gjelder også for spinn, der Hilbertrommet er todimensjonalt.

Representasjoner

Postulatene sier ikke hva $|x\rangle$ eller $\psi(x)$ er. En representasjon er den generelle formuleringen projisert på én bestemt basis, og valget av basis avgjør hvordan tilstander og operatorer ser ut.

I posisjonsbasisen

Posisjonsrepresentasjonen kommer ut når egenvektorene til $\hat x$ brukes som basis. Egenverdilikningen $\hat x|x'\rangle = x'|x'\rangle$ har kontinuerlige egenverdier $x' \in (-\infty, \infty)$, med $\langle x''|x'\rangle = \delta(x'' - x')$ og $\int dx'\,|x'\rangle\langle x'| = \mathbb{1}$, og komponentene $\langle x'|\psi\rangle = \psi(x')$ er bølgefunksjonen. Skalarprodukt og fullstendighet blir det de var:

Operatorene trenger matriseelementene $\langle x''|\hat F|x'\rangle$, for med to enhetsoperatorer er

For $\hat x$ er $\langle x''|\hat x|x'\rangle = x'\,\delta(x'' - x')$, og for enhver funksjon som kan rekkeutvikles, $\langle x''|F(\hat x)|x'\rangle = F(x')\,\delta(x'' - x')$. Impulsoperatoren er bare definert gjennom kommutatoren, så den må hentes derfra.

Sett inn i forventningsverdien. Deltafunksjonen tar det ene integralet, og

som er postulat C i bølgemekanikken. Postulat B gir Schrödingerlikningen på samme måte. Multipliser $i\hbar\,\tfrac{d}{dt}|\Psi, t\rangle = \hat H|\Psi, t\rangle$ med $\langle x|$ fra venstre og sett inn $\mathbb{1}$:

Med posisjonsegenvektorene som basis er den generelle formuleringen bølgemekanikk i posisjonsrommet.

I impulsbasisen

Bruk i stedet egenvektorene til $\hat p$, $\hat p|p\rangle = p|p\rangle$, som basis. Komponentene $\langle p|\Psi\rangle = \Phi(p)$ er bølgefunksjonen i impulsrommet, og sammenhengen med $\Psi(x)$ følger av fullstendighetsrelasjonen for $|p\rangle$:

Overlappet $\langle x|p\rangle$ er egenfunksjonen til $\hat p$ i posisjonsrepresentasjonen, og det kan regnes ut fra egenverdilikningen.

Projiseres Schrödingerlikningen på $\langle p|$ i stedet for $\langle x|$, kommer likningen for $\Phi(p, t)$ ut med $\hat p = p$ og $\hat x = -(\hbar/i)\,\partial/\partial p$, slik den var i impulsrommet. De to formuleringene er samme likning projisert på to basiser.

I en diskret basis

Er basisen diskret og ortonormert, $|k\rangle$ med $\langle k|n\rangle = \delta_{kn}$, blir komponentene $a_k = \langle k|a\rangle$ en kolonnematrise, $\langle a|$ radmatrisen med elementene $a_k^*$, og en operator matrisen $A_{kn} = \langle k|\hat A|n\rangle$. Komponentene til $\hat A|a\rangle$ er $\sum_n A_{kn}a_n$, og et produkt av operatorer blir et matriseprodukt. Schrödingerlikningen blir et sett koplede likninger, $i\hbar\,\dot\Psi_k = \sum_n H_{kn}\Psi_n$, og energiene til de stasjonære tilstandene er egenverdiene til matrisen, $\det(H - E\,\mathbb{1}) = 0$. Dette er matrisemekanikken, som Heisenberg fant i 1925, noen måneder før Schrödinger fant bølgelikningen.

Sjekk deg selv